GEOMETRIA FRACTAL

Nosso entendimento sobre a geometria é antigo - como a ciência de Euclides e dos antigos cientistas egípcios - mas ela é também uma disciplina viva e fértil. O potencial de suas riquezas ainda não descobertas foi redemonstrado com a descoberta, por Benoit Mandelbrot, dos fractais, um novo campo em geometria capaz de interpretar e gerar estruturas cuja complexidade e beleza rivalizam-se com a da própria natureza. Não inclinado a subestimar suas habilidades (lecionou Economia em Harvard, Engenharia em Yale, e Fisiologia na Einstein School of Medicine), Mandelbrot proclamou a novidade dos fractais em um tom heróico tal que um crítico do livro The Fractal Geometry of Nature afirmou que "eu gosto de pessoas que escrevem pela glória, e não apenas por dinheiro". (Timothy Ferris)

Por Benoit Mandelbrot. Tradução de Fernando J.M Walter.

Por quê é a geometria comumente descrita como "fria"e "árida"? Uma razão encontra-se na sua falta de habilidade em descrever a forma de uma nuvem, uma montanha, uma linha costeira, ou uma árvore. Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, nem o raio viaja numa linha reta.

Mais genericamente, afirmo que muitos padrões na Natureza são tão irregulares e fragmentados que, comparados com a Geometria Euclidiana, não somente exibem um grau mais elevado como também um nível diferente de complexidade. Os números envolvendo as distintas escalas de comprimento dos padrões naturais são, para todos os propósitos práticos, infinitos.

A existência desses padrões desafia-nos ao estudo dessas formas que a geometria euclidiana deixa de lado, como sendo "sem forma", e à investigação da "morfologia do amorfo". Matemáticos desdenharam deste desafio, e cada vez mais afastaram-se da Natureza, criando teorias não relacionadas com nada que nós podemos ver ou sentir.

Respondendo a esse desafio, concebi e desenvolvi uma nova geometria da natureza e implementei seu uso em vários campos de atividade. Ela descreve muitos dos padrões irregulares e fragmentados que encontram-se em torno de nós, e indica o caminho para teorias absolutamente novas, através da identificação de uma família de formas que chamei Fractais.

Os mais úteis fractais envolvem probabilidades(chances), e suas irregularidades e regularidades são estatísticas. Igualmente, as formas aqui descritas tendem a possuir escalas, implicando que o grau de sua irregularidade e/ou fragmentação é idêntico em todas as escalas. O conceito de dimensão(Hausdorff) fractal possui uma posição central neste trabalho.

Alguns conjuntos fractais são curvas ou superfícies, outros são pontos "desconectados ", e outros possuem formas tão únicas que não possuem termos de definição, seja nas ciências ou nas artes.

Freeman J.Dyson forneceu este eloqüente sumário:

"Fractal é uma palavra criada por Mandelbrot no sentido de definir, em um único termo, uma grande classe de objetos que tem possuído um papel histórico no desenvolvimento da matemática pura".

Uma grande revolução de idéias separou a matemática clássica do século XIX da moderna matemática do século XX . A matemática clássica possui suas raízes nas estruturas geométricas regulares da Geometria Euclidiana e na Dinâmica de Newton. A moderna matemática começa com a teoria do conjunto de Cantor e a curva espacial de Peano. Historicamente, a revolução foi forçada pela descoberta de estruturas matemáticas que não se adequavam aos padrões de Euclides e Newton. Estas novas estruturas eram consideradas como "patológicas", ou "uma galeria de monstros", tal como a pintura cubista e a música atonal que, mais ou menos na mesma época, desafiavam o establishment nas artes. Os matemáticos que criaram os 'monstros' consideravam-nos importantes no sentido de mostrar que o mundo da matemática pura contém uma riqueza de possibilidades indo muito mais além das estruturas simples vistas na Natureza.

Agora, como aponta Mandelbrot, a Natureza aplicou uma piada aos matemáticos. "Aqueles do século XIX podem ter tido falta de imaginação, mas não a Natureza. As mesmas estruturas patológicas que os matemáticos inventaram para afastar-se do naturalismo do século XIX voltaram-se contra eles, no sentido que são inerentes em objetos familiares em torno de todos nós."

Em síntese, confirmei a observação de Pascal de que "a imaginação cansa-se diante da Natureza"...

A Geometria Fractal revela que alguns dos mais austeros capítulos da matemática possuem uma face oculta: Um mundo de pura beleza plástica, insuspeito até agora...

QUAL O TAMANHO DA COSTA DA BRETANHA?

Para introduzir uma primeira categoria de fractais, as chamadas curvas cuja dimensão fractal é maior do que 1, consideremos um trecho de uma linha costeira.

É evidente que seu comprimento é pelo menos igual à distância medida ao longo de uma linha reta entre seu início e fim. Todavia, uma linha costeira típica é irregular e tortuosa, e é também óbvio que é muito maior que uma linha reta entre seus pontos inicial e final.

Existem vários métodos de avaliar, com maior precisão, seu comprimento, e este capítulo analisa vários deles. O resultado mostra-se peculiar: o comprimento de uma linha costeira pode apresentar-se como uma noção ilusória que "escorre pelos dedos" daqueles que pretendem segurá-lo. Todos os métodos de mensuração levam, em última instância, que o comprimento típico de uma linha costeira é muito grande e deste modo inútil calculá-lo, sendo melhor considerá-lo como infinito. Por esta razão, se quisermos comparar diferentes linhas costeiras sob o critério de suas extensões, o "comprimento" é um conceito inadequado.

Este capítulo procura apresentar um método substituto, desta forma tornando impossível a não-introdução de várias formas de conceitos de fractais, envolvendo dimensão, medida e curva.

Multiplicidade de Métodos Alternativos de Medição

Método A:

Coloquemos um compasso de ponta seca com uma determinada abertura e e façamos estas medições ao longo da linha costeira, cada novo passo iniciando-se ao término do outro. O número de passos multiplicado por e nos dá um comprimento aproximado L(e).Na medida que as aberturas dos compassos tornam-se cada vez menores, e na repetição da operação descrita, podemos esperar que L(e) convirja rapidamente para um valor bem definido chamado de comprimento verdadeiro. Na realidade, este fato não acontece. No caso típico, o valor de L(e) observado tende a aumentar, sem limite.

A razão para tal fato é óbvia: Quando uma baía ou península plotada num mapa em uma escala 1/100.000 é reexaminada num mapa de escala 1/10.000, sub-baías e sub-penínsulas tornam-se visíveis. Em um mapa de escala 1/1.000, sub-sub-baías e sub-sub-penínsulas aparecem, e assim por diante. Cada uma delas soma-se ao comprimento medido.

Nosso processo admite que uma linha costeira é irregular em demasia para ser medida diretamente através de comprimentos de simples curvas geométricas. Desta forma, o Método A substitui a linha costeira por uma seqüência de linhas "partidas"a partir de intervalos determinados, os quais são curvas que sabemos como utilizar.

Método B:

Tal método aproximado pode ser complementado de outras formas. Imaginemos um homem caminhando ao longo da linha costeira, através do caminho mais curto, o qual se localiza não mais distante da água do que a citada distância e. Daí, ele retoma seu caminho, reduzindo progressivamente seu parâmetro, e novamente, após outra redução; e assim por diante, até que e assuma um valor de, p.ex.,50 cm. O homem é grande demais para perceber detalhes mais específicos. Poderia-se argumentar que estes detalhes menores são a)de nenhum interesse para o homem e b)variam de acordo com as estações e as marés, não tendo, como conseqüência, importância a sua mensuração. Analisaremos o argumento a) mais tarde neste capítulo. No entanto, podemos neutralizar o argumento b), restringindo nossa atenção à uma linha costeira rochosa observada quando a maré está baixa e as ondas de altura desprezível. Em princípio, o homem poderia seguir tal caminho (curva) até atingir detalhes menores tais como os observados por um rato, uma formiga, e daí por diante. Novamente, à medida que o caminhante fica cada vez mais próximo da linha da costa, a distância a ser coberta continua a crescer, sem limites.

Método C:

Uma assimetria entre terra e água está implícita no método B. Para evitá-la, sugere Cantor, deveríamos ver a linha da costa com uma câmera fora de foco, que transforme cada ponto em uma mancha circular de raio e .Em outras palavras, Cantor considera todos os pontos da terra e da água para os quais a distância da linha costeira é não maior do que e. Estes pontos formam uma espécie de fita com largura 2e... Meça a área da fita e divida-a por 2e. Se a linha da costa fosse reta, a fita seria um retângulo, e o quociente acima seria igual ao comprimento real.

Com linhas costeiras reais, temos um comprimento estimado L(e).Na medida que e diminui, esta estimativa aumenta sem limites.

Método D:

Imaginemos um mapa desenhado sob a forma de pontos, utilizando-se de manchas circulares de raio e. Ao invés de utilizarmos círculos centrados na linha costeira, como no Método C, vamos considerar que as manchas que cobrem toda a linha costeira sejam no menor número possível. Como resultado, elas se localizarão principalmente em terra, próximas dos cabos, e no mar, próximas das baías. A área de tal mapa, dividido por 2e,é uma estimativa do comprimento. Esta estimativa também não atende às expectativas.

Arbitrariedade dos Resultados da Medição

Sumarizando a seção anterior, a principal conclusão a ser tirada é sempre a mesma. Na medida que e é feito cada vez menor, cada medição aproximada tende a aumentar de forma constante e sem limitação.

De forma a descobrirmos o significado deste resultado, vamos realizar mensurações análogas em uma curva padrão da G.E. Para um intervalo de linha reta, as medidas aproximadas são essencialmente idênticas e definem o comprimento. Para um círculo, as medições aproximadas aumentam, porém convergem rapidamente para um limite. As curvas para as quais um comprimento é assim definido são chamadas retificáveis.

Um contraste ainda mais interessante é obtido pelos resultados de uma medição em uma linha costeira da qual o homem tenha pleno conhecimento, p.ex., a costa de Chelsea tal como é hoje.

Desde que as grandes estruturas não são afetadas pelo homem, uma régua muito grande novamente produz resultados que aumentarão, à medida que e diminui.

Todavia, existe uma zona intermediária de e's na qual L(e) varia pouco. Esta zona pode ir desde 20 metros até 20 cm(em valores aproximados). Mas L(e) aumenta novamente depois que e torna-se menor que 20cm e as medidas tornam-se afetadas pela irregularidade das pedras.

Desta forma, se traçarmos as curvas representando L(e) como função de e , há pouca dúvida que o comprimento exibe, na zona de e's entre 20m e 20 cm, uma porção plana que não foi observada antes de a costa ter sido plenamente conhecida.

Medições realizadas nesta zona são obviamente de grande importância prática. Desde que os limites entre as diferentes disciplinas científicas são, amplamente, uma matéria de divisão convencional de trabalho entre cientistas, poderia-se restringir-se a geografia como sendo fenômeno acima do alcance do homem, p.ex., em escalas acima de 20m. A restrição produzirá um valor bem definido de comprimento geográfico. A Guarda Costeira poderia optar por usar o mesmo e para costas não exploradas, e enciclopédias e almanaques poderiam adotar o correspondente L(e).

Todavia, a adoção do mesmo e por todas as agências de um governo é difícil de imaginar, e sua adoção por todos os países é altamente inconcebível. Por exemplo( Richardson,1961) o comprimento das fronteiras comuns de Espanha e Portugal, ou Bélgica e Holanda, como são apresentadas em enciclopédias, diferem por 20%. A discrepância deve em parte verificar-se por diferentes opções de valor de e. Um achado empírico a ser logo discutido mostra que seria suficiente que e diferisse por um fator de 2, e não seria surpresa que um país menor(Portugal) medisse sua fronteira com mais precisão que seu vizinho maior.

A segunda e mais significante razão contra a decisão de um e arbitrário é filosófica e científica. A Natureza existe à parte do homem, e qualquer um que dê peso demais para quaisquer e ou L(e) específicos deixará o estudo da Natureza ser dominado pelo homem, seja através de sua régua ou sua pesquisa científica altamente variável. Se linhas costeiras se tornarem um objeto de interesse científico, a incerteza relacionada ao seu comprimento não pode ser legislada.

De uma forma ou outra, o conceito de comprimento geográfico não é tão inofensivo quanto parece. Ele não é inteiramente "objetivo". O observador inevitavelmente interfere em sua definição.

*************************************************************

O Efeito Richardson

A variação do comprimento aproximado L(e) obtida pelo Método A foi estudada de forma empírica por Richardson(1961), uma referência que o acaso(ou o destino)pôs em meu caminho. Minha atenção foi mantida posto que tinha Lewis Fry Richardson como um grande cientista, cuja originalidade coexistia com sua excentricidade. Todos temos um profundo débito para com ele, em função de algumas das mais profundas idéias considerando a natureza da turbulência, notadamente a noção de que esta envolve da similaridade em cascata. Ele também lidou com outros problemas difíceis, como a natureza dos conflitos armados entre países. Seus experimentos possuíam uma simplicidade clássica, porém nunca hesitou quanto ao uso de conceitos refinados, quando se mostravam necessários.

...[Richardson concluiu] que dada a existência de duas constantes, que chamaremos l e D, tais que - para termos uma aproximação de uma linha costeira através de uma linha particionada - precisaríamos de intervalos aproximados de comprimento e iguais a F e^-D, sendo daí o comprimento L(e) ~Fe ^(1-D) ,

O valor do expoente D indica ser dependente da linha costeira escolhida, e diferentes trechos da mesma costa, se considerados separadamente, podem produzir diferente valores de D. Para Richardson, o D em questão era um simples expoente, sem nenhum valor em especial. No entanto, seu valor parece ser independente do método escolhido para estimar o comprimento de uma linha costeira. D,assim,merece atenção.

A Dimensão Fractal de uma Linha Costeira

Tendo descoberto o trabalho de Richardson, propus que,apesar do fato de o expoente D não ser inteiro,ele pode e deve ser interpretado como uma dimensão,uma dimensão fractal. De fato, reconheci que todos os métodos citados acima para mensuração de L(e)correspondem à definições genéricas e não-padronizadas de dimensões , já utilizadas na matemática pura.

A definição de comprimento, baseada numa linha costeira sendo coberta pelo menor número de manchas circulares de raio e foi utilizada por Pontrjagin & Schnirelman em 1932 para definição de abrangência(ou dimensão) de cobertura.

A definição de comprimento baseada em uma linha costeira sendo "coberta"por uma faixa de largura igual a 2e nos leva a uma idéia de Cantor e Minkowski, e a correspondente dimensão é devida a Bouligand. De fato, estes dois exemplos somente apontam para as muitas dimensões(muitas das quais conhecidas somente por alguns poucos especialistas)que aparecem em diversos capítulos especializados da matemática.

Por quê os matemáticos apresentaram esta abundância de diferentes definições? Pelo fato de que em alguns casos elas produziam valores distintos. Felizmente, neste Ensaio, estes casos não se apresentam, e a lista de possíveis dimensões alternativas pode ser reduzida a duas,ainda não mencionadas. A mais antiga e melhor investigada delas remonta à época de Hausdorff e serve para definir dimensão fractal; A mais simples é dimensão de similaridade: é menos geral, porém em muitos casos é mais do que adequada.

Em termos claros, não proponho a apresentação de uma prova matemática que mostre ser o D de Richardson uma dimensão. Tal prova não é concebível à luz de nenhuma ciência natural. O objetivo é meramente convencer o leitor que a noção de comprimento apresenta um problema conceitual, e que D proporciona uma resposta conveniente e controlável. Agora que a dimensão fractal é utilizada nos estudos de linhas costeiras, mesmo se novas colocações vierem a ser apresentadas, entendo que nunca retornaremos ao ponto de D=1 ser aceito de forma tão passiva.

A Dimensão Fractal de Hausdorff

Se aceitarmos que diferentes costas naturais possuem realmente tamanho infinito, e que o comprimento baseado em um valor antropocêntrico de e oferece somente uma idéia parcial da realidade, como diferentes linhas costeiras podem ser comparadas entre si?Como infinito é igual a quatro vezes infinito,cada linha de costa é quatro vezes mais longa que cada uma de suas quartas partes, porém esta não é uma conclusão útil. Precisamos de um melhor meio de demonstrar a conceito válido de que o tamanho total da curva possui uma "medida"que é quatro vezes maior do que cada um de seus quartos.

Um método engenhoso foi apresentado por Felix Hausdorff. É motivado(de forma intuitiva)pelo fato de ser a medida linear de um polígono calculada somando-se os comprimentos de seus lados sem alterá-los de forma alguma. Poderá se dizer (e a razão para isso se tornará logo aparente) que estes comprimentos estão elevados à potência D=1,a dimensão Euclideana de uma linha reta. A medida da área interna de uma superfície poligonal fechada é similarmente calculada através de seu preenchimento com quadrados, e somando-se os lados dos quadrados elevados à D=2, a dimensão Euclideana de um plano. Quando,por outro lado,a potência "errada"é utilizada, o resultado não apresenta informação específica: a área de cada polígono fechado é zero, e o tamanho de seu interior é infinito.

Vamos proceder de maneira similar para uma aproximação poligonal de uma linha de costa composta de pequenos intervalos de comprimento e.Se seus comprimentos são elevados à uma potência D,obtemos uma quantidade que podemos chamar, inicialmente, "uma medida aproximada na dimensão D".Como,de acordo com Richardson,o número de lados é

N=F e ^(-D) ,medidas aproximadas tomam o valor de F e ^ (D) e ^(-D)=F.

Assim,a medida aproximada na dimensão D independe de e. Com dados reais, vemos que que esta medição aproximada varia pouco em função de e.

Adicionalmente, o fato de que o comprimento de um quadrado é infinito possui uma simples contrapartida e generalização: A medida aproximada de uma linha de costa, avaliada em qualquer dimensão d menor que D tende para infinito na medida em que e ->0. Similarmente, a área e o volume de uma linha reta são iguais a zero. E quando d assume qualquer valor maior que D, a correspondente medida aproximada de uma linha de costa tende para 0 na medida em que e->0. A medida aproximada permanece, em termos, se e somente se d=D.

A DIMENSÃO FRACTAL DE UMA CURVA PODE ULTRAPASSAR 1.

Curvas Fractais

Por conceito, a dimensão de Hausdorff preserva a função da dimensão ordinária como expoente, definindo uma medida.

De outro ponto de vista, D é de fato incomum: é uma fração! Em particular, ele é maior que 1, que é a dimensão intuitiva das curvas e que deve ser mostrado rigorosamente ser sua dimensão topológica Dt.

Proponho que curvas para as quais a dimensão fractal exceda a dimensão topológica 1 sejam chamadas curvas fractais. E o presente capítulo pode ser sumarizado através da assertativa que, dentro das escalas de interesse de um geógrafo, linhas costeiras podem ser modeladas por curvas fractais. Linhas costeiras são exemplos de fractais.

*****

FIM

Textos

Links

Páguna Principal